Derivation of The Equations Of Gyroscopic Motion

استخراج معادلات حركت ژيروسكوپ  

 by Robert M. Beal

(May 2003)

 معادلاتي كه در اين نوشتار آمده اند از بخشهاي مختلف كتاب درسي مكانيك مهندسي استاتيك و ديناميك ويرايش سوم  ISBN 0-02-354140-7  نوشته هايبلر برداشت شده است. اگر خواننده بخواهد موضوع را عميق تر كاوش كند مقدمتاً لازم است كه فصلهاي 20 و21 مبحث ديناميك را به طور روشن درك كرده باشد.بدين منظور ما شما را به كتاب درس هايبلر ارجاع مي دهيم. ما معادلات را با اصلاحات جزئي و با نظر شخصي خود يكجا گردآوري نموده ايم. به اميد آنكه استنتاج روان و سليسي از معادلات حركت ژيروسكوپ بر پايه  F = ma معادله اصلي ديناميك فراهم آورده و اين مطلب را به طور پيوسته و هدفمند بيان كرده باشيم.

 كار را با معادله مشهور بين نيرو جرم وشتاب نيوتن براي يك ذره  آغاز مي كنيم كه يك كميت برداري را نشان مي دهد.

F = ma سيگما

اين معادله بيان مي دارد كه برآيند نيروهاي خارجي وارد بر يك ذره برابر است با حاصلضرب جرم در شتاب آن.

در حقيقت فرمولاسيون اصلي نيوتن نيروهاي خارجي وارد بر ذره را به گشتاور خطي آن مرتبط مي سازد.

  'mv  = سيگماF

Vدر اينجا بيانگر سرعت   

  dv/dt نيز بيانگر نرخ تغيير سرعت در واحد زمان يا بعبارتي همان 'v

'mv نيز نرخ تغييرات گشتاور خطي نسبت به زمان مي باشد.

 اگر r  را بعنوان بردار موقعيت ذره در نظر بگيريم و O را بعنوان مبدا مختصات  با در نظر گرفتن مبدا مختصات گشتاور زاويه اي    ميتوانيم H_o   ذره را با ضرب خارجي هر دو سمت اين معادله در  r  بدست آوريم

'r x SF = r x mv

  ( SM_o) يا بعبارتي  r x SF برابر با مجموع گشتاور نيروهايي كه حول نقطه مبدا اثر مي كنند خواهد بود پس ميتوان نوشت:

   'SM_o = r x mv

H_o = r x mv با داشتن مومنتوم (گشتاور) زاويه اي ذره

 مشتقH_o را نسبت زمان بدست مي آوريم 

d(H_o)/dt = d(r x mv)/dt

بر اساس 'v = dr/dt = r

 خواهيم داشت:

  'H'_o = r' x mr' + r x mv

از آنجايي كه حاصلضرب خارجي دو بردار معادل صفر خواهد بود

 r' x mr' = m(r' x r') = 0

 بنابر اين:

     'H'_o = r x mv

 با جايگذاري معادله در جمع گشتاورها داريم:

 از اين رو مجموع و برآيند گشتاورهاي يك ذره متحرك حول نقطه مبداء برابر با نرخ تغييرات گشتاور زاويه اي نسبت به زمان خواهد بود. براي سيستم ذرات مي بايست برآيند گشتاور تمام نيروهاي موثر بر ذرات را محاسبه نمود.

در معادله زير :

Sf  برآيند  همه ذرات موجود در سيستم مي باشد بر اثرنيروهاي داخلي موثر بر ذره  iام از نيروهاي داخلي صرف نظر مي شود از اين رو كه دقيقاً معادل با يكديگر منتهي در دو سوي مخالف عمل مي كنند

 بنابراين S_i(r x Sf)_i = 0

 و معادله اي كه تا اينجا براي سيستم ذرات استنتاج مي شود به همان فرم و شكل معادله اي است كه براي يك ذره به كار ميرود:

 S_i[r x SF]_i = S_i[H'_o]_i

بعبارت ديگر بيان مي دارد كه مجموع گشتاورها حول نقطه مبداء بر اثر وجود نيروهاي خارجي بر سيستم ذرات برابر است با نرخ تغييرات گشتاور زاويه اي سيستم ذرات حول همان نقطه مبداء. به وضوح در مي يابيم كه اين معادله براي هر سيستم پيكره جامد ذرات صادق است و از اين رو مي توانيم اين معادله را در تحليل ژيروسكوپ نيز به كار ببنديم.

چيزي كه اكنون براي توضيح و بيان گشتاور زاويه اي  H_o  لازم است اين است كه ما مي توانيم مقادير فيزيكي نظير جرم شعاع و سرعت زاويه اي و شتاب  زاويه اي  و مشتق زماني آن H'_oرا اندازه بگيريم.

و سرعت زاويه اي Dm  اگر در نظر بگيريم كه يك ذره در پيكره  داراي جرم اضافي  نسبت به مبداء و چارچوب مرجع ميباشد:w

با دانستن اينكه

v = w x r

مي توان نوشت:

      [DH_o]_i = r x Dm_iv_i
[DH_o]_i = [r x (w x r)]_iDm_i

با جمع همه گشتاورهاي زاويه اي براي تمامي ذرات پيكره داريم:

 اگر دلتا را حول مبداء بگيريم آنگاه

Dm_i و    D [H_o]_i

_{مقادير فوق ديفرانسيلي خواهند شد و مي توانيم سيگما را با انتگرال جايگزين نماييم .}

_{ما در اينجا} z را جاي به كار بردن علامت معمولي انتگرال به كار برده ايم.   _{چرا كه علامت معمولي انتگرال را در دسترس نداشتيم.}

z_HodH_o = z_mr x (w x r) dm
H_o = z_mr x (w x r) dm

   آنگاه مي توانيم xyz را حول مرجع و مبداء در نظر بگيريم اگر سه محور k و   j   و  i

و سرعت زاويه اي امگا را در مولفه هاي r  و شعاع  H_o

مطابق زير بيان نماييم:

 H_o = H_x i + H_y j + H_z k
r = x i + y j + z k
w = w_x i + w_y j + w_z k

 با جايگذاري براي  H_o   در انتگرال مذكور خواهيم داشت:

 H_x i + H_y j + H_z k =
z_m(x i + y j + z k) x [(w_x i + w_y j + w_z k ) x (x i + y j + z k)]dm

با محاسبه ضرب خارجي و تركيب عبارتهاي فوق خواهيم داشت:

H_x i + H_y j + H_z k =
[w_xz_m(y²+z²)dm - w_yz_mxy dm - w_zz_mxz dm] i
+ [- w_xz_mxy dm + w_yz_m(x²+z²)dm - w_zz_myz dm] j
+ [- w_xz_mzx dm - w_yz_myz dm + w_zz_m(x²+y²)dm] k

بنابر اين با محاسبه انتگرال گشتاورها ي اينرسي و ضرب اينرسي ها مي توانيم معادله را به فرم زير بازنويسي كنيم:

اگر سيستم مختصات دو بعدي يا سه بعدي را انتخاب نماييم و تحليل پيكره را با محور مختصات سه بعدي انجام دهيم

آنگاه حاصل همه ضربهاي محورهاي متعامد  برابر با صفر خواهند شد و معادله به صورت زير مختصر مي شود:

زمانيكه محورها به شكلي كه توضيح داده شد انتخاب شوند اين مقادير اصل محورهاي اينرسي ناميده مي شوند.

 را در اختيار داريم و سرعت زاويه اي امگا نيز مي تواند اندازه گيري شود.H_o اكنون ما گشتاور زاويه اي

كه  به جرم و ابعاد پيكره بستگي دارد كه مي توان در جدول يافت يا به صورت دستي محاسبه نمود.

تحليلي كه از ژيروسكوپ ارائه داديم در صورتي كه سيستم مختصات دست كم دو يا سه بعدي را براي ژيروسكوپ انتخاب نماييم به مراتب ساده تر خواهد شد. اگر سيستم انتخاب شده بدين منظور لحاظ شده باشد آنگاه تمامي حاصلضربهاي اينرسي برابر با صفر خواهند شد و ما تنها مي بايست گشتاورهاي اينرسي را محاسبه نماييم.براي انجام چنين كاري ما از سيستم مختصات چرخان استفاده خواهيم كرد كه مبداء آن نقطه ء پايين و تكيه گاه چرخش مي باشد. سيستم مختصات چرخان از حركت محوري چرخش پيروي مي كند و با چرخش خود انحراف زاويه اي از محور نخواهد داشت.

سرعت زاويه اي مختصات چرخان را از اين پس با امگاي بزرگ نشان خواهيم داد.

  'W = nutation + precession = q' + f

و مختصات چرخان را با محور مختصات سه بعدي كارتزين نشان گذاري مي كنيم.از اين رو يك مرجع ثابت سيستم مختصات خواهيم داشت كه نقطه اتكايي اصلي آن نقطه چرخش خواهد بود كه از اين پس  نام مي گيرند.محورهاي ABC سرعت زاويه اي چرخش بر اساس محور مذكور مطابق با شكلهاي 2 و 3 به شكل زير  خواهد بود:

  'w = nutation + precession + spin = q' + f' + y

 زواياي qو  f, و y پس از رياضيدان سوئيسي لئونارد اويلر بعنوان زواياي اويلر ناميده مي شوند

زمانيكه محورهاي چرخان روي محور ABC چرخيدندثابت لازم است كه

H'_o را بر اساس بردارهاي يكه اش محاسبه نماييم كه از زمانيكه امتدادشان تغيير يافته است ديگر ثابت نيستند.

_{پس خواهيم داشت:}

(H'_o)_ABC = H'_x i + H'_y j + H'_z k + H_x(di/dt) + H_y(dj/dt) + H_z(dk/dt)

_{جايي كه} H'_o مشتق گشتاور زاويه اي نسبت به زمان روي محور _ABC

 واقع است مشتق زماني بردارهاي يكه را مي توان بصورت زير بيان نمود:ABC

di/dt = W x i
dj/dt = W x j
dk/dt = W x k

مجموع گشتاور گشتاورها مي تواند يه شكل زير نوشته شود:

SM_o = H'_x i + H'_y j + H'_z k + W x H_o

SM_x i + SM_y j + SM_z k = H'_x i + H'_y j + H'_z k + W x H_o

جدولي به منظور پيدا كردن گشتاورهاي اينرسي براي اشكال مختلف هندسي به صورت I_xx, I_yy, و I_zz ليست شده است.

وقتي مركز گرانش در چرخ طيار فلايويل چرخش ما به شعاع R

 از مبداء مختصات محوري كه در نظر گرفته ايم.

محور هايx  و y محورهاي اصلي اينرسي نيستند. بلكه موازي با محور اينرسي فلايويل مي باشند 

بنابراين مي توانيم از قضيه محورهاي موازي براي مرتبط كردن

 گشتاور اينرسي xو y مولفه هاي I_xx و I_yy

 كه در زير نشان داده شده اند استفاده نماييم.

 مسئله اي ايجاد نمي نمايد چراكه محور  I_z   مولفه

از مركز جرم فلايويل عبور مي كند. z

I_x = I_xx + mR²
I_y = I_yy + mR²
I_z = I_zz

 I_x, I_y, I_z و رابطه ميانI_xx,I_yy, I_zz  را بخاطر داشته باشيد.

 ما حال مي توانيم گشتاور زاويه اي چرخش را به صورت زير نمايش دهيم:

H_x = I_xw_x
H_y = I_yw_y
H_z = I_zw_z

با جايگذاري عبارات بالا در جمع معادلات مومنتوم (گشتاور) و با داشتن مشتق نسبت به زمان عبارات زير حاصل خواهند شد:

SM_x i + SM_y j + SM_z k =

(I_xw'_xi + I_yw'_yj + I_zw'_zk) + [( W_xi + W_yj + W_zk) x (I_xw_xi + I_yw_yj + I_zw_zk)]

 با محاسبه ضربهاي خارجي و تلفيق عبارات معادلات زير به دست خواهند آمد:

SM_x = I_xw'_x - I_yW_zw_y + I_zW_yw_z
SM_y = I_yw'_y - I_zW_xw_z + I_xW_zw_x
SM_z = I_zw'_z - I_xW_yw_x + I_yW_xw_y

مي توانيم مولفه هاي سرعت زاويه اي محورهاي چرخان xyz مطابق با شكل 2 را با سرعت زاويه ايW توضيح دهيم. wژيروسكوپ

 'W = q' + f
W = W_x i + W_y j + W_z k
W = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq) k

w = q' + f' + y'
w = w_x i + w_y j+ w_z k
w = q' i + (f'sinq) j + (f'cosq + y' ) k

در روابط بالا خواهيم داشت:W و w با جايگذاري مولفه هاي

 'SM_x = I_xq" - I_y(f')²cosqsinq + I_zf'sinq(f'cosq + y)
SM_y = I_y(f'q'cosq + f"sinq) - I_zq'(f'cosq + y') + I_xf'q'cosq
SM_z = I_z(- f'q'sinq + f"cosq + y") - I_xf'q'sinq + I_yf'q'sinq

به طور كلي يافتن جوابي كه معادلات فوق را ارضا كند بسيار دشوار خواهد بود هرچند در مورد خيلي خاص اگر انحراف    زاويه اي 'fثابت باشد 'y چرخش به دور خود نيز ثابت خواهد ماندو مانند آنچه درشكل 3 نشان داده شده  زاويه چرخش محوري 90 درجه باشد حل اين معادلات به وضوح ساده خواهند شد.

دراين مورد خواهيم داشت:

q' = 0
f" = 0
y" = 0
cos(90⁰) = 0
sin(90⁰) = 1

در اينصورت معادله گشتاورها به صورت زير ساده خواهد شد:

 'SM_x = I_zf'y
SM_y = 0
SM_z = 0

گشتاور مرتبط با محور x هادر اين حالت تنها گشتاوري كه در معادله باقي مي ماند خواهد بود.

در اينجا هيچ علامت منفي در معادله ظاهر نشده است چراكه ما براي بيان مقدار تمامي بردارها از قانون دست راست استفاده كرده ايم.

 بنابراين تمامي بردارها (مجموع گشتاورها حول محور xها )

(SM_x)

و تمامي چرخشهاي محوري در جهت مثبت خواهند بود. حول محورz

('y)و گردش ( 'fتقدم زاويه اي)خواهند داشت.

تحليل ما درباره حركت ژيروسكوپ در زاويه 90 درجه به نتايج مهم زير خواهد انجاميد:

    'SM_x = I_zf'y

تنها در نتيجه وزن فلايويل باشد ( مي توانيم از وزن شفت صرف نظر كنيم)x اگر تنها گشتاور حول محور و اگر فلايويل در فاصله Rاز پاشنه (پايه) چرخش باشد از اين پس مي توان نوشت: I_z = I_zz

   'mgR = I_zzf'y

كه در اينجا m جرم فلايويل وgشتاب گرانش زمين مي باشد

 اين معادله به ما مي گويد اگر فلايويل در زاويه 90 درجه و در فاصله R از پاشنه چرخش قرار داشته باشدو فلايويل با سرعت زاويه اي ثابت 'y بچرخدانتظار مي رود كه از چرخش باز نايستد اين قضيه راجع به ثابت بودن سرعت زاويه اي حول محور

 y نيز صدق مي كند.( 'f)

I_zz = 1/2mr² براي ديسك جامدي كه در حال چرخش است

وقتي كه شعاع ديسك r باشد در صورتي كه  بيشتر جرم در لبه هاي بيروني متمركز است خواهيم داشت:

I_zz = mr²

ديسك دوار جامد: 'mgR = 1/2mr²f'y
رينگ نازك دوار:  'mgR = mr²f'y

با در نظر گرفتن اينكه هم ديسك دوار و هم رينگ نازك داراي يك جرم هستند و شعاع يكساني دارند محاسبهmgR چرخش كه در ديسك دوار مانند فلايويل استفاده مي شود دو برابر سريعتر از چرخش رينگ دوار نازك مي باشد.

مترجم : عرفان كسرايي

به نقل از انجمن فيزيك هوپا

منابع و ماخذ :

 Engineering Mechanics - Statics and Dynamics, Third Edition, by R. C. Hibbeler (ISBN 0-02-354140-7)

Engineering Mechanics - Dynamics by Anthony Bedford and Wallace Fowler (ISBN 0-201-58197-3)